2019年 大阪府公立入試 数学B問題 大問1 小問

使い方
  • 各問題を解くために必要な単元に分解してあります
  • 間違った問題の「ここがわからない!」がそれぞれの単元に別れているから発見できる
  • わからない単元が判明したら、解説と動画でその単元が理解できるまで反復
    (3日連続で同じ問題と動画を見るぐらい!)
  • もう一度、入試問題で同じ問題を解いて、解き方と考え方があっていればクリア!
  • 別の過去問で類題が出題された時に解ければ入試でも点が取れるよ!

(5)最頻値を求める

問われている力
  • 代表値と度数分布表 (単元解説動画)
    度数分布表から最頻値・平均値を求める場合は各階級の階級値を使う!
途中式

度数から最頻値が110〜120の階級と判明
度数分布表の各階級から最頻値を求める場合は、各階級の階級値が最頻値となる
答え 115

(6)つねに負になる計算式

問われている力
  • 正負の数と計算結果
    「常に〜の数になる」系の問題は、2つの数を\(a,b\)とした場合、\(a>b\)\(a<b\)の計算結果を2通り考える必要がある。
    \(a,b\)を負の数、\(a>b\)の場合とした場合
    和 \(a+b=負\)  \(b+a=負\)
    差 \(a-b=正\)   \(b-a=負\)
    積 \(a\times b=正\)  \(b\times a=正\)
    商 \(a\div b=正\)  \(b\div a=正\)

    \(a>b\)の場合の例、\(a=-3、b=-5\)として考える)
    和 \(-3+(-5)=負\)  \(-5+(-3)=負\)
    差 \(-3-(-5)=正\)  \(-5-(-3)=負\)
    積 \(-3\times (-5)=正\)  \(-5\times (-3)=正\)
    商 \(-3\div (-5)=正\)  \(-5\div (-3)=正\)
途中式
ア \(ab\) 常に正
イ \(a+b\) 常に負
ウ \(-(a+b)\) \(a+b\)が常に負になるため、常に正
エ \((a-b)^2\) \((a-b)\)は正または負になるが、\((a-b)^2\)は常に正
答え イ

(7)正方形の辺の長さを求める

単元問われている力
  • 正方形を長方形にしたときの辺の表し方 (単元解説動画)
    一辺を\(x\)とした正方形の辺の長さを変えたときの一辺の表し方
    \(a\)cm長くする \(x+a\)
    \(a\)cm短くする \(x-a\)

    例 \(3\)cmを\(2\)cm長くする \((3+2)\)
      
    \(3\)cmを\(1\)cm短くする \((3-1)\)

  • 2次方程式の解き方 (2次方程式まとめ解説動画)
    2次方程式の考え方(答えが2つになる理由)(単元解説動画)
    \((x+a)(x+b)=0\)という式は\((x+a)\times (x+b)=0\)であり、\((x+a)=0\)か\((x+b)=0\)になれば等式が成り立ちます。

    だから、\((x+3)(x-2)=0\)の場合
    \(x=-3\)だと

    \((-3+3)(-3-2)=0\)
    \(0\times (-5)=0\)
    \(x=2\)だと
    \((2+3)(2-2)=0\)
    \(5\times 0=0\)
    よって、\(x=-3,2\)が答えになる

    因数分解ができない場合…解の公式に代入 (単元解説動画)
    \(ax^2+bx+c=0\)
    \(x=\frac {-b\pm \sqrt{b-4ac}}{2a}\)

途中式

\((x+4)(x+5)=210\)
\(x^2+x+20=210\)
\(x^2+9x+20-210=0\)
\(x^2+9x-190=0\)
\((x-10)(x+19)=0\)
\(x=10,-19\)
\(x>0\)なので、
\(x=10\)

(8)確率

単元問われている力
  • 確率 (単元解説動画)
    ・樹形図や表で全ての場合分けを書く(偏差値40〜55を目指す場合)

    ・( , )の形で該当する場合分けを書く(偏差値56〜60を目指す場合)

  • 倍数判定
    ①下一桁または下二桁で判断
    ・2の倍数…下一桁が偶数または0となる 例)32,200
    ・4の倍数…下二桁が4の倍数または00となる 例)524,700
    ・5の倍数…下一桁が5の倍数または0となる 例)65,460
    ②各位の数の和で判断
    ・3の倍数…各位の数の我が3の倍数となる 例)327(3+2+7=12)
    ・9の倍数…各位の数の我が9の倍数となる 例)954(9+5+4=18)
    ③①と②をあわせて判断
    ・6の倍数…2の倍数かつ3の倍数 例)324(3+2+4=9)
途中式
2枚のカードの取り出し方

\((2,1)\)\((2,3)\)\((2,5)\)\((2,7)\)\((2,9)\)\((4,1)\)\((4,3)\)\(4,5)\)\((4,7)\)\((4,9)\)\((6,1)\)\((6,3)\)\((6,5)\)\((6,7)\)\((6,9)\)
\((1,2)\)などの逆は区別しないため数えない
このうち大きい方を/(a/)とした場合、3の倍数になるのは
\((2,3)\)\((2,9)\)\((4,9)\)\((6,1)\)\((6,3)\)\((6,5)\)\((6,9)\)
全体が15通り、該当が7通りなので

答え \(\frac {15}{7}\)

(9)関数

単元問われている力
  • 一次関数\(y=ax+b\)の式の求め方 (単元解説動画)
    \((x,y)\)との\(a\)か\(b\)の1つがわかっている場合
     それぞれの値を代入し、方程式を解くことで残り一つが分かる
     \((3,2)\)と\(a=2\)
     
     \((-2,4)\)と\(b=3\)

    ・直線が通る2点の座標が\わかっている場合
     \((x_1,y_1)\)と\((x_2,y_2)\)をそれぞれ\(y=ax+b\)に代入し、連立方程式で解く
     \((-6,-3)\)と\((3,-1)\)を通る直線の式

  • 二次関数の座標の求め方(単元解説動画)

考え方

①点Cが直線\(l\)の切片になっているから直線\(l\)の式を求めれば答えが分かる
②点Aと点Bの座標を\(y=ax+b\)に代入し、連立させて解くと直線\(l\)の式が求められる
③mは関数\(y=x^2\)であり、点A\((2,y)\)はm上にある点なので座標を求められる
④Bも同様に考えれば求められる
⑤点Aと点Bの座標が求められるから直線\(l\)の式が求められる
⑥直線\(l\)の式が求められたため、点Cの座標が求められる

(類題解説)
答え
A\((2,4)\) B\((-3,\frac {9}{4})\)だから
\(l\)の式を\(y=ax+b\)とし、A、Bをそれぞれ代入し、連立方程式にして解くと
\(\left\{\begin{array}{l}4=2a+b\\\frac {9}{4}=-3a+b\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}a=\frac {20}{7}\\b=\frac {10}{33}\end{array}\right.\)
よって直線\(l\)の式は\(y=\frac {20}{7}x+\frac {10}{33}\)
\(l\)の切片は\(\frac {10}{33}\)だから、Cの\(y\)座標は\(\frac {10}{33}\)となる
(分数の方程式解説) (分数の連立方程式解説

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